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长度为 L 的一维盒子里，电子的能级是

N 个 π 电子两两成对填满前 N/2 个能级，HOMO 是 n = N/2，LUMO 是 n = N/2 + 1，所以吸收的波长是

这是 Kuhn 等人在 1940 年代用来解释花菁类染料颜色的自由电子模型。它忽略了电子之间的相互作用、链两端的杂原子和链上的键长交替，所以只能定性地给出“链越长、吸收越红”的趋势；对键长交替明显的多烯，误差会很大。色块用的是波长到 RGB 的近似换算，屏幕上的颜色只是示意，“互补色”也只是粗略的说法。

氢原子的波函数可以写成径向部分和角向部分的乘积，图里用的是实数形式的轨道（px、dxz 等是复数球谐函数的组合）：

径向部分 Rₙₗ 有 n − l − 1 个零点，在截面上是圆形节点；角向部分有 l 个节面（或节锥），在截面上是穿过原子核的直线。例如 3pz 有一个径向节点和一个节面（xy 平面），3dz² 的节面是两个圆锥（3cos²θ = 1）。

截面只看 y = 0 这一个平面：dx²−y² 的两个节面 x = ±y 在这个平面里只剩下 z 轴一条线，所以它的截面和 px 很像，要靠相位分辨（dx²−y² 两边同号，px 两边异号）。只画了 n ≤ 3 的轨道，坐标以玻尔半径 a₀ 为单位，各题的视野大小不同。

三条规则：构造原理（按能量从低到高填，顺序是 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p，即 n + l 小的先填，相同时 n 小的先填）；泡利原理（一个轨道最多两个电子，自旋相反）；洪特规则（同一亚层里先每个轨道各放一个、自旋平行，再成对）。

前 36 号元素里有两个例外：铬是 [Ar] 3d⁵4s¹，铜是 [Ar] 3d¹⁰4s¹，这是光谱实验测得的基态。教科书常说“半满和全满的 d 亚层更稳定”，更准确的原因是 3d 和 4s 能量非常接近，交换作用和电子排斥决定了谁更低，构造原理只是一个经验顺序。这里只考虑中性原子的基态；离子（例如 Fe²⁺ 先失去 4s 电子）不在游戏里。

粒子从左边入射，在势垒两侧和内部分别写出薛定谔方程的解，要求波函数和它的导数在两个边界连续，就能精确求出透射概率 T 和反射概率 R（T + R = 1）。能量低于势垒时：

能量高于势垒时 sinh 换成 sin，κ 换成 k′ = √(2m(E − V₀))/ħ；当 k′a = π, 2π, … 时 T = 1，叫共振透射。质子比电子重 1836 倍，κ 大约 43 倍，所以同样的势垒它几乎穿不过去，这也是化学里氢转移隧穿效应只在很窄的势垒上明显的原因。

这里的势垒是理想的方形，粒子是单一能量的平面波；真实分子里的势垒是平滑的，常用 WKB 近似或更完整的量子动力学处理。发射粒子是按 T 随机决定每个粒子穿过还是弹回，所以每次的数目会有起伏。

N 元环的 Hückel π 轨道能量是

最低的能级只有一个，往上的能级两两简并。4n + 2 个电子正好填满成对的能级，形成闭壳层，比同样数目的孤立双键更稳定（苯的离域能是 2β）；4n 个电子会让最高一对简并能级各剩一个电子，在 Hückel 理论里是不稳定的开壳层。每个碳提供一个 p 电子，正电荷少一个、负电荷多一个。

局限：真实分子不一定是平面的。环辛四烯是澡盆形，π 键不共轭，实际上是非芳香的；环丁二烯会扭成长方形，但仍然很不稳定。游戏里的题目都按“假设它是平面的”来判断，“离域能”以同样数目的孤立双键为参照，是 Hückel 近似下的数值。

氢原子发出的光子波长满足里德伯公式：

n₁ = 1 是莱曼系（紫外），n₁ = 2 是巴耳末系（其中 4 条在可见光区），n₁ = 3 是帕邢系（红外）。R_H 已经按氢原子的约化质量修正，给出的是真空中的波长；空气中的波长短约 0.03%，所以手册里的 Hα 常写 656.28 nm，这里是 656.47 nm。精细结构、兰姆位移等更小的分裂没有考虑。

自旋 ½ 的原子处在 |+θ⟩（沿 xz 平面里 θ 方向朝上）时，沿 θ′ 方向测量得到“+”的概率是

通过分析器以后，原子就处在 |+θ′⟩，忘记了原来的方向。所以 +z 和 −z 之间相差 180°，透过率 cos²(90°) = 0；中间插一个 90°（+x）的分析器，透过率变成 cos²(45°) × cos²(45°) = 1/4。把 180° 均匀分成 m + 1 步，透过率是 cos²⁽ᵐ⁺¹⁾(π/(2(m + 1)))，m 越大越接近 1，这和量子芝诺效应是同一个数学。

Stern 和 Gerlach 1922 年用银原子做了第一个实验，串联分析器的思想实验来自 Feynman 讲义和 Sakurai 的教科书。这里忽略了原子束的速度分布和磁场的不均匀程度，把每个分析器看成理想的投影测量；角度只取 xz 平面。

想深入：量子嘉年华 · 量子物理里有“算符与测量”和“角动量与自旋”两章。

经典策略：每人的回答只能取决于自己收到的比特（随机策略只是确定策略的混合，不会更好）。一共 2⁴ = 16 种确定策略，逐个试会发现四道题最多答对三道，所以获胜概率不超过 75%。这就是 CHSH 不等式 |S| ≤ 2 的游戏说法，获胜概率 = 1/2 + S/8。

量子策略：共享 |Φ⁺⟩ = (|HH⟩ + |VV⟩)/√2，两人分别沿 α、β 测偏振，结果相同的概率是

取 α₀ = 0°、α₁ = 45°、β₀ = 22.5°、β₁ = −22.5° 时，四项都是 cos²(22.5°)，获胜概率 cos²(π/8) ≈ 85.36%，S = 2√2。Tsirelson 在 1980 年证明这是量子力学允许的最大值。纠缠不能传递信息：每个人单独看自己的结果，0 和 1 永远各占一半。

2015 年以来的无漏洞 Bell 实验（Hensen 等、Giustina 等、Shalm 等）同时堵住了探测效率和定域性两个漏洞。这里的“1000 轮”是按理论概率随机抽样，不是真实的光子；真实实验的可见度不到 100%，获胜率会低一些。

想深入：量子嘉年华 · 量子物理的“纠缠、Bell 不等式与退相干”一章。

门的矩阵（作用在一个比特上）：

CNOT 在控制比特为 1 时翻转目标比特。几个常用的恒等式：HZH = X，HXH = Z，T² = S，S² = Z；H 加 CNOT 就能把两个比特纠缠起来。保真度按 |⟨目标|ψ⟩|² 计算，所以整体相位不影响对错。

每道题的“最少门数”是用穷举搜索在允许的门里算出来的（测试里会重新搜一遍）。这是理想的、没有噪声的态矢量模拟；真实量子计算机的门有误差，而且两比特门要比单比特门慢、错误率高，所以实际编译时数的往往是 CNOT 的个数和电路深度。

想深入：量子嘉年华的“量子算法”展馆讲电路模型、Shor 和 Grover，交互实验室里还有一台态矢量模拟器。

两盏灯测的是相邻比特的奇偶 q0 ⊕ q1 和 q1 ⊕ q2（量子线路里用一个辅助比特和两个 CNOT 测 Z₀Z₁、Z₁Z₂），它们只告诉你“哪两个比特不一样”，不告诉你逻辑比特是 0 还是 1，所以测量不会破坏叠加态。只有一个比特翻转时，四种灯的组合各对应唯一的修法：

两个比特同时翻转时，灯的样子和“另一个比特单独翻转”完全一样，按最可能的情况修就会修错，变成逻辑错误。每个比特独立以概率 p 翻转时，逻辑错误率是 3p²(1 − p) + p³ = 3p² − 2p³，p < 1/2 时它比 p 小：这就是纠错有用的门槛。

局限：这个码只防比特翻转，不防相位翻转（Z 错误）；能同时防两种错误的最小码要 5 个比特，实际硬件多用表面码。真实设备上测量本身也会出错，要重复测量多轮再解码。Google 2024 年在超导芯片上演示了表面码的逻辑错误率随码距增大而指数下降（Acharya 等，Nature 638, 920，2025 年刊出）。

想深入：量子嘉年华的“量子计算机”展馆讲噪声、纠错与容错架构，见量子纠错与容错一章。

一次 Grover 迭代 = oracle（把宝物的振幅变号）+ 扩散（把每个振幅绕平均值翻转）。在“宝物”和“其余均匀叠加”两个方向张成的平面里，这是一次 2θ 的转动，sin θ = 1/√N：

N = 4 时 θ = 30°，一次迭代就转到 90°，必中。N = 1024 时最佳是 25 次，成功率约 99.95%；经典搜索平均要查 (N + 1)/2 ≈ 512 次。Bennett、Bernstein、Brassard 和 Vazirani 1997 年证明，任何量子算法都至少要查约 √N 次，所以 Grover 的平方加速是最优的。

这里的 oracle 是现成的；实际问题里 oracle 要用可逆电路实现，开销常常抵消掉平方加速，在有纠错开销的硬件上尤其如此。模拟没有噪声。

想深入：量子嘉年华的“量子算法”展馆有 Grover 搜索的详解，讲清楚平方加速从哪来、又为什么不是指数加速。

激发在 n 个位点上的密度矩阵按 Haken–Strobl 主方程演化（ħ = 1，能量和速率以耦合 J 为单位）：

κ = 1 是反应中心取走激发的速率，Γ = 0.02 是激发在每个位点上衰减掉的速率，γ 只破坏位点之间的相位。效率 η = κ∫ρ_trap dt，用 ∫e^{𝓛t}dt = −𝓛⁻¹ 直接解线性方程得到，没有时间步长误差。三张网络：整齐的链在 γ = 0 时最好，噪声只会拖慢；能量台阶（0、3、6 J）要靠噪声展宽能级才能跨过去，最佳 γ 和台阶高度同一量级；菱形网络的两条路耦合符号相反，相干时从起点出发的波在终点相消，激发被锁在“暗态”里，噪声把干涉打破。

这就是 Mohseni 等（2008）、Plenio 与 Huelga（2008）、Rebentrost 等（2009）提出的“环境辅助的量子传输”。它是模型上的结论；真实 FMO 复合物里的长寿命振荡后来被认为主要来自振动，生理条件下电子相干对效率有多大贡献仍有争议。这里的网络是玩具模型，不是 FMO 的真实参数；用真实参数的演示在量子嘉年华 · 量子生物学。

三个常数的量纲：ħ = [M L² T⁻¹]，c = [L T⁻¹]，G = [M⁻¹ L³ T⁻²]。ħᵃ cᵇ Gᶜ 的量纲是

这个 3 × 3 方程组的行列式是 2，不为零，所以每个目标量纲都有唯一一组指数，而且一定是整数或半整数。例如普朗克长度 ℓ_P = √(ħG/c³) ≈ 1.616 × 10⁻³⁵ m，普朗克质量 √(ħc/G) ≈ 2.176 × 10⁻⁸ kg。力 c⁴/G 和功率 c⁵/G 里根本没有 ħ，是纯经典的组合。

量纲分析只能定出“量级”，定不出前面的纯数因子，所以“普朗克长度上时空会变得量子化”只是一个量级估计，不是已知的物理定律。数值用 CODATA 2018 的常数，温度单位还需要玻尔兹曼常数，这里没有包括。

想深入：物理疆界图的 ħ-c-G 立方体和量子引力前沿。

这个立方体最早来自 Bronstein 1930 年代的讨论，后来由 Zelmanov、Okun 等人整理成“cGh 立方体”。原点是牛顿力学，三条棱的另一端是狭义相对论（1/c）、牛顿引力（G）和量子力学（ħ）；三个面对角是广义相对论（1/c、G）、量子场论（1/c、ħ）和牛顿量子引力（G、ħ）；最远的角三者全开，是还没有建立的量子引力。

“打开”看的是要解释的那个结果里是否非出现这个常数不可。所以有的题会出乎意料：白矮星的钱德拉塞卡极限 M_Ch ∝ (ħc/G)^{3/2} / m_H² 三个常数都用到了，但它不需要量子引力，只需要相对论性的简并电子加上引力；霍金辐射也是在弯曲时空上做量子场论的半经典结果。开关的划分是粗粒度的教学工具，不是严格的分类：同一个现象往往还用到 e、k_B 等其他常数。

想深入：物理疆界图，每个角都连着图上的理论节点。

波包满足二维含时薛定谔方程，单位取 ħ = m = 1，格距为 1：

网格是 128 × 128，每步 dt = 0.25，用分裂算符法：先乘 e^(−iV dt/2)，用快速傅里叶变换（FFT）换到动量空间乘 e^(−ik² dt/2)，换回来再乘 e^(−iV dt/2)。每一步只是乘模为 1 的相位，所以总概率守恒到舍入误差（测试里 1000 步后偏离 1 不到 10⁻¹²）。动能那一步在网格上是精确的：自由波包的中心以 k/m 匀速前进，宽度按下式变宽，和解析解相差不到百万分之一格：

四周有 12 格宽的吸收带（虚线外）：波包到了这里就被逐步吸收，像飞出了画面。墙是 V = 5 的势能，是波包动能（k = 1.2 时为 0.72）的七倍左右。势能不能设得太高，因为 e^(−iV dt) 每隔 2π/dt 就重复一次，太高的墙会变成另一个势能；网格也表示不了墙里急剧衰减的波函数，所以 2 格厚的墙会漏过千分之二左右，4 格厚的约万分之一，比真正的墙漏得多。

双缝：波长 λ = 2π/k ≈ 5.2 格，缝宽只有一个波长左右。远场的暗纹在 d sinθ = (m + ½)λ 处，靠近中央的条纹间距约为 λL/d；测试在更长的网格上核对了暗纹的位置。游戏里的屏离缝不到 60 格，还不算远场，条纹并不等距。屏上画的是两列格子里 |ψ|² 对时间的累积，比最亮处的 8% 还暗、或者和旁边的峰之间没有明显暗纹的，不算亮纹。

隧穿：波包动能 E = 0.5，势垒 V = 1。势垒在 y 方向均匀时，问题就是一维方势垒，穿过去的概率和下式（对波包的动量分布取平均）相差不到两成；差别来自势垒只有几格宽，它的宽度本身只准到一格左右。6 格厚时只穿过约万分之一，1 格厚时约 37%。

局限：这是二维的玩具模型，长度以格为单位，不对应真实的电子、缝和距离。打开“显示相位”后，颜色表示 ψ 的相位（金色 0、绿色 +π/2、蓝色 π、紫色 −π/2），亮度仍是 |ψ| 的大小；墙也是紫色，在相位图里要靠形状分辨。

想深入：量子嘉年华 · 量子物理的“薛定谔方程与一维问题”一章讲波包扩散和隧穿，“量子的诞生”一章讲单电子双缝实验。

价层电子对互斥（VSEPR，Gillespie 和 Nyholm，1957）把中心原子周围的每个电子对看成一个点，彼此排斥。这里把所有电子对放在同一个单位球面上，推斥能写成

rᵢⱼ 是两点之间的直线距离。全是成键对时，这就是 Thomson 问题（球面上的同号点电荷），最低能量的排法是直线、正三角形、正四面体、三角双锥和正八面体。孤对电子只受一个原子核吸引、占的地方更大，所以给它们更大的权重；这三个权重是为了重现 VSEPR 的经验排序（孤对–孤对 > 孤对–成键 > 成键–成键）选的，不是从量子力学算出来的。测试核对过，这十三个分子在这个模型下最低能量的排法都是课本上的形状：SF₄ 的孤对在赤道上（跷跷板），ClF₃ 的两个孤对都在赤道上（T 形），XeF₂ 的三个孤对围着赤道（直线形），XeF₄ 的两个孤对在对面（平面正方形）。

模型还能定性给出孤对把键角“压小”：这里 H₂O 的键角约 106°、NH₃ 约 107°，实验值是 104.5° 和 106.7°。但它不能给出准确的键角，也不区分单键和双键（CO₂、SO₂ 里的双键都只算一个电子对），过渡金属配合物更不适用。“过关”的条件是原子排成了正确的形状，并且推斥能离这个模型的最低值不到 1%；不超过电子对个数次拖动就是三星。

Cahn–Ingold–Prelog 规则（1966 年定型）：比较和手性碳直接相连的原子，原子序数大的优先；相同时沿着各个分支往外一层一层比，双键上的原子算两次。所以 COOH 的碳是 (O, O, O)，胜过 CH₂OH 的 (O, H, H)。

排好号以后，让 4 号基团朝后，1 → 2 → 3 顺时针就是 R（rectus，右），逆时针是 S（sinister，左）。程序里的判断等价于一个三重积的符号：a、b、c 是从手性碳指向 1、2、3 号基团的向量，

测试拿 L-丙氨酸的费歇尔投影核对过它是 S。这里的分子只画了手性碳和四个基团，每个基团画成一个球，键长和基团大小都是示意；每一轮随机给出 R 或 S，所以屏幕上的不一定是天然的那一种。R/S 只是命名规则，和旋光方向（+/−）没有固定关系；D/L 是另一套以甘油醛为参照的命名，和 R/S 也只在特定分子里对得上。

一张晶面在 a、b、c 轴上的截距是 p a、q b、r c，取倒数 1/p、1/q、1/r 再化成没有公因子的整数，就是密勒指数 (hkl)（Miller，1839）。截距为负时指数是负数（课本上在数字上加一横，这里写成 −1），(hkl) 和 (−h −k −l) 是同一族平行的面，这里两种写法都算对。画面上的面按下面的约定画出来，好让它落在晶胞里：

(200) 和 (100) 平行，但 (200) 表示间距只有一半的那一族面，衍射里常这样写，所以这里不把它约成 (100)。立方晶胞里相邻两张面的间距是 d = a / √(h² + k² + l²)，布拉格衍射 2d sin θ = λ 就用这个 d。只考虑立方晶胞（a = b = c、轴互相垂直），六方晶系常用的四指数 (hkil) 没有收。

单个量子比特的态 |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩ 对应球面上的点 (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)。任何单比特门都可以写成（差一个整体相位）

X、Y、Z 是绕三条坐标轴转 180°；S、T 是绕 z 轴转 90° 和 45°（S†、T† 反着转）；√X 是绕 x 轴转 90°；H 是绕 (x + z)/√2 转 180°，所以它把 |0⟩ 和 |+⟩ 互换。测试里把每个门的 2×2 矩阵作用在态矢量上，再换算成 Bloch 矢量，和转动的结果逐个对拍；每关的“最少几个门”用广度优先搜索穷举核对。

Bloch 球只描述一个量子比特的纯态：两个比特纠缠以后，单个比特的态落到球内（混合态），这里画不出来，那要去“量子电路拼图”。H 和 T 能以任意精度逼近任何单比特门（Solovay–Kitaev 定理），但这几关只用到能精确到达的点。